零階保持

　　零階保持（zero-order hold）簡(jiǎn)稱(chēng)ZOH，是傳統(tǒng)數(shù)位模擬轉(zhuǎn)換器（DAC）上信號(hào)重建的數(shù)學(xué)模型。此作法會(huì)在各取樣區(qū)間之間，讓信號(hào)維持之前的值，以此方式將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)，在電子通訊上有許多的應(yīng)用。

時(shí)域模型

　　.

　　零階保持可以從取樣數(shù)列x[n]重建為以下的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，假設(shè)每一個(gè)取樣的時(shí)間間隔都是T：

　　{\displaystyle x_{\mathrm{ZOH}}(t)\=\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\mathrm{rect}\left({\frac{t-T/2-nT}{T}}\right)\,}{\displaystyle x_{\mathrm{ZOH}}(t)\=\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\mathrm{rect}\left({\frac{t-T/2-nT}{T}}\right)\,}

　　其中{\displaystyle\mathrm{rect}(),}{\displaystyle\mathrm{rect}(),}為矩形函數(shù)。

　　函數(shù){\displaystyle\mathrm{rect}\left({\frac{t-T/2}{T}}\right)}{\displaystyle\mathrm{rect}\left({\frac{t-T/2}{T}}\right)}如圖1所示，而{\displaystyle x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,}{\displaystyle x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,}是分段常數(shù)函數(shù)，如圖2所示。

頻域模型

　　上述ZOH輸出的方程式也可以表示為沖激響應(yīng)分段常數(shù)函數(shù)（rect函數(shù)）的線性時(shí)不變?yōu)V波器之輸出，輸入則是狄拉克δ函數(shù)乘以取樣數(shù)值所產(chǎn)生的脈沖序列。濾波器可以在頻域下進(jìn)行分析，和其他的信號(hào)重建方式進(jìn)行比較，例如依采樣定理建議的惠特克-香農(nóng)插值公式，或是在二個(gè)取樣點(diǎn)之間線性內(nèi)插的一階保持。

　　在此作法中，會(huì)將狄拉克δ函數(shù)的脈沖序列xs(t)經(jīng)過(guò)低通濾波器還原為連續(xù)信號(hào)x(t)。

　　雖然實(shí)際的數(shù)位類(lèi)比轉(zhuǎn)換器（DAC）不是以此方式進(jìn)行，不過(guò)其其特性可以建模為將假想脈沖序列xs(t)用LTI濾波后所得的特性，而此濾波器的特性是每一個(gè)輸入脈沖都可以產(chǎn)生持續(xù)到下一個(gè)取樣點(diǎn)的常數(shù)步階輸出。

　　一開(kāi)始先從取樣訊號(hào)，配合delta函數(shù)建立連續(xù)訊號(hào)：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}x_{s}(t)&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta\left({\frac{t-nT}{T}}\right)\\&{}=T\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT).\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}x_{s}(t)&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta\left({\frac{t-nT}{T}}\right)\\&{}=T\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT).\end{aligned}}}

　　其中T的比例是因?yàn)閷elta函數(shù)配合時(shí)間調(diào)整比例而產(chǎn)生的，其意思是使xs(t)的平均值等于在取樣的數(shù)值，因此低通濾波器的直流增益設(shè)定為1即可。有些文獻(xiàn)使用這種比例調(diào)整方式，不過(guò)許多文獻(xiàn)不考慮delta函數(shù)的系數(shù)'T，因此低通濾波器會(huì)有一個(gè)直流增益T，也就會(huì)隨取樣時(shí)間而變化。

　　零階保持是假想的濾波器或線性系統(tǒng)，可以將調(diào)變后的迪拉克脈沖xs(t)轉(zhuǎn)換為片段連續(xù)的訊號(hào)（如圖2）。

　　{\displaystyle x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,=\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\mathrm{rect}\left({\frac{t-nT}{T}}-{\frac{1}{2}}\right)\}{\displaystyle x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,=\sum _{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\mathrm{rect}\left({\frac{t-nT}{T}}-{\frac{1}{2}}\right)\}

　　其等效的沖激響應(yīng)（如圖4）為：

　　{\displaystyle h_{\mathrm{ZOH}}(t)\,={\frac{1}{T}}\mathrm{rect}\left({\frac{t}{T}}-{\frac{1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac{1}{T}}&{\mbox{if}}0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\}{\displaystyle h_{\mathrm{ZOH}}(t)\,={\frac{1}{T}}\mathrm{rect}\left({\frac{t}{T}}-{\frac{1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac{1}{T}}&{\mbox{if}}0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\}

　　其等效頻率響應(yīng)為沖激響應(yīng)的傅里葉變換。

　　{\displaystyle H_{\mathrm{ZOH}}(f)\,={\mathcal{F}}\{h_{\mathrm{ZOH}}(t)\}\,={\frac{1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}=e^{-i\pi fT}\mathrm{sinc}(fT)\}{\displaystyle H_{\mathrm{ZOH}}(f)\,={\mathcal{F}}\{h_{\mathrm{ZOH}}(t)\}\,={\frac{1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}=e^{-i\pi fT}\mathrm{sinc}(fT)\}

　　其中{\displaystyle\mathrm{sinc}(x)\}{\displaystyle\mathrm{sinc}(x)\}是正規(guī)化的Sinc函數(shù){\displaystyle{\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}}}{\displaystyle{\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}}}，常用在數(shù)位信號(hào)處理中。

　　ZOH的傳遞函數(shù)拉普拉斯變換可以用將s替代為i 2πf而得

　　{\displaystyle H_{\mathrm{ZOH}}(s)\,={\mathcal{L}}\{h_{\mathrm{ZOH}}(t)\}\,={\frac{1-e^{-sT}}{sT}}\}{\displaystyle H_{\mathrm{ZOH}}(s)\,={\mathcal{L}}\{h_{\mathrm{ZOH}}(t)\}\,={\frac{1-e^{-sT}}{sT}}\}

　　實(shí)際的數(shù)位類(lèi)比轉(zhuǎn)換器（DAC）不會(huì)輸出狄拉克δ函數(shù)的序列xs(t)（因此，若是理想的低通濾波，會(huì)在取樣前得到獨(dú)特的帶寬受限制的訊號(hào)），會(huì)輸出方波的序列xZOH(t)（階躍函數(shù)），因此ZOH在DAC的頻率響應(yīng)中會(huì)有一個(gè)本質(zhì)造成的影響，在頻率較高時(shí)，會(huì)有輕微的信號(hào)衰減（在奈奎斯特頻率處降低3.9224 dB，對(duì)應(yīng)sinc(1/2)=2/π）。此衰減是因?yàn)閭鹘y(tǒng)DAC的“保持”特性，不是因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)類(lèi)比數(shù)位轉(zhuǎn)換器前面的取樣保持電路的影響。

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